Número Imaginario

26 Jul

Descifrando al Número Imaginario

 

La existencia del número imaginario en las matemáticas y en la Física es algo tan real, que nos vemos obligado a aceptarlo aunque no se llegue a comprenderlo enteramente.

Vamos a tratar de comprenderlo a partir de nuestra intuición y darle un sentido que lo haga mas asequible a nuestro entendimiento.

El número “i” se define como la raiz cuadrada de -1.

Es decir

i x i = -1

Partamos de este concepto; estamos multiplicando el número “i” por sí mismo para obtener -1.

Quizá comprendiendo mejor la operación de multiplicación podemos entender al número imaginario. En realidad, tendremos que revisar o expandir nuestro concepto de multiplicación para poder explicar el número imaginario.

La multiplicación de números reales

 

La multiplicación de dos números reales positivos se puede representar como el área de un rectángulo cuya longitud de su largo y ancho equivalen a los números multiplicandos.

a x b = c

si se trata de números enteros es mas fácil definirlo, en este caso la multiplicación sería la suma de un multiplicando por una cantidad de veces equivalente al otro multiplicando, en este caso, si lo representamos por cuadrados cada número, el resultado sería la cantidad total de cuadrados dentro del rectángulo resultante:

Total = 24

Si se trata de números reales donde hay positivos y negativos se tiene la regla de:

(+) x (+) = (+)

(+) x (-) = (-)

(-) x (+) = (-)

(-) x (-) = (+)

para colocar el signo del número resultante.

En este caso se acepta la regla sin mayor comprobación; intuitivamente asociamos al número negativo como algo que se opone al número positivo, por tanto tiene el efecto de cambiar de signo al otro multiplicando.

Multiplicación de números complejos

 

Par poder comprender la multiplicación de los números imaginarios podemos partir de un ejemplo de multiplicación de números complejos:

multipliquemos    1+ i  por -1+i

(1+i) x (-1+i) = 1.(-1) + 1.i + i.(-1) + i.i = -1 + i -i -1 = -2

representando esta multiplicación en las coordenadas cartesianas

En la representación fasorial de los números complejos se observa que la amplitud del resultado de la multiplicación es igual al producto real de la amplitud de cada multiplicando, cada multiplicando tiene una amplitud de raiz cuadrada de 2, por tanto su multiplicación es 2.

El signo del resultado es negativo, es decir su dirección es horizontal hacia el eje negativo. La dirección es del ángulo de 180º, lo cual es la suma de 45º + 135º, los cuales son los ángulos del primer y segundo multiplicando. Obviamente este resultado viene de la representación polar de los números complejos, pero concentrándonos en la representación gráfica de la operación de multiplicación podemos decir que para los números complejos, la multiplicación es el producto de una multiplicación común y corriente de las amplitudes de los números complejos y al mismo tiempo una suma de sus ángulos polares.

Por tanto la multiplicación de i x i se puede representar como:

El resultado tiene la amplitud de 1 y el signo (-) por estar con una ángulo de 180º, que es la suma de 90º + 90º de cada número “i”.

Bajo este mismo concepto se puede explicar la regla de los signos en la multiplicación:

(+) x (+) = 0º + 0º = 0º = (+)

(+) x (-) = 0º + 180º = 180º = (-)

(-) x (+) = 180º + 0º = 180º =  (-)

(-) x (-) = 180º + 180º = 360º = 0º = (+)

La multiplicación del número imaginario

 

Al definir los números complejos, se trata de representar las cantidades en dos dimensiones ortogonales semejante a una representación vectorial. En este caso la suma de los números complejos no es muy complicada y es simplemente la suma de los componentes del eje real y del imaginario cada uno por separado; pero cuando se trata de la multiplicación, éste cobra otro efecto geométrico, se trata de la multiplicación de las magnitudes de cada número complejo y la suma de los ángulos de cada número complejo.

Los números imaginarios, físicamente son números similares a los reales, solo que por necesidad de representar un par de números pertenecientes a ejes ortogonales se ha tenido que colocar a uno de éstos en un eje diferente y aplicarle un factor “i” para diferenciarlo del otro. Si quisiéramos, a un mismo elemento o fenómeno físico podemos representarlo intercambiando su valor real por su imaginario sin eliminar la validez de su representación.

Por tanto el misterioso número “i” cuyo cuadrado equivale a -1 , no es mas que un número de magnitud 1 que está colocado en el eje “i”, que al multiplicarlo por sí mismo equivale a sumar dos veces el ángulo 90º dando como resultado un ángulo de 180º que se representa por -1.

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